이전에 진성반도체와 외인성반도체 내용을 공부했다.
진성반도체에서는 남는 전자나 생기는 정공이 없이 전자와 정공이 항상 쌍으로 발생하기 때문에 전자와 정공의 밀도가 같다. 진성반도체의 경우 전자와 정공의 밀도 N_i는 1.5 X 10^10 cm^-3 이다.
외인성반도체인 n형 반도체에서 도너 원자들은 상온에서 열에너지에 의해 모두 이온화되어 전자를 내어놓는다.
따라서 도핑된 도너 원자의 밀도를 N_d라고 하면 n형 반도체에서 전자 밀도는 n = N_i + N_d 이다. 진성반도체의 전자밀도 + 도핑시킨 도너 원자의 전자밀도의 합이다.
그러나 도핑시키는 도너 원자의 밀도 N_d는 대략 10^14 ~ 10^16 cm^-3 으로 앞에서 말했던 진성반도체의 전자밀도 N_i 보다 훨씬 크다. 따라서 n형 반도체에서의 전자밀도는 N_d 와 거의 같다고 말할 수 있다.
p형 반도체에서도 어셉터 원자들은 상온에서 열에너지에 의해 모두 이온화되어 정공을 내어 놓는다.
어쎕터 원자의 밀도를 N_a라고 두면 p형 반도체에서 정공밀도는 p = N_i + N_a 이다. 진성반도체의 정공밀도 + 도핑시킨 도너 원자의 정공밀도의 합이다.
그러나 도핑시키는 어셉터 원자의 밀도 N_a는 대략 10^14 ~ 10^16 cm^-3 으로, 이 값은 진성반도체의 정공밀도 N_i 보다 훨씬 크다.
따라서 p형 반도체에서의 정공밀도는 N_a 와 거의 같다고 말할 수 있다.
반도체의 열평형 상태에서의 캐리어 밀도
전도대 안의 전자밀도는
이다.
D(E) = 상태밀도. 단위 체적당, 단위 에너지당 전자의 에너지 상태의 수
D_c(E) = 전자의 상태밀도.
f(E) = Fermi-Dirac 분포함수로써 전자가 에너지 E인 상태에 존재할 확률.
전도대 안에 존재하는 전자의 밀도함수 n(E)은 D(E)f(E) 이다. 이 밀도함수 n(E)를 전도대의 가장 낮은 에너지준위부터 가장 높은 에너지준위까지 적분하여 전도대 안의 전자밀도를 구할 수 있다. 위의 수식이다.
Q. 반도체에서의 전자의 상태밀도[D(E)]를 구해보자.
상태밀도는 단위 체적당, 단위 에너지당 Schrodinger(슈뢰딩거) 방정식의 해를 말한다.
반도체 내의 전자들은 유효질량 m* 을 가지고 무한 우물 속에서 자유롭게 움직이는 입자로 가정할 수 있다. 우물은 한쪽 방향의 길이가 L인 정육면체이고 각 면에서의 포텐셜은 무한대이다. 그리고 우물 안의 포텐셜은 0 이라고 하자.
우물 안에서의 x방향에 대한 입자의 해는 Ψ 로 아래 식으로 주어진다. 식에서 k_x는 x방향의 wavenumber(파수) 이다.
위 식은 x 가 L일때 Ψ = 0 이라는 경계조건을 만족하여야 하므로 k_x = nπ/L 이다. 여기서 n = 1, 2, 3, .... (양수)이다.
y, z 방향도 동일한 조건이 만족된다.
따라서 각 해는 운동량 공간(k-space)에서 한 변의 길이가 nπ/L 인 정육면체에 해당된다.
크기 k보다 작은 파수 안에 존재하는 상태밀도를 계산해보자. 크기가 k보다 작으면서 구별할 수 있는 k_x, k_y, k_z를 가지는 해의 수는
반경 k인 구의 체적(n이 양수이므로 실제로는 구의 체적의 1/8)을 하나의 해에 해당되는 체적 (π/L)^3 으로 나누어 주면 된다. 즉 총 해의 수는
로 주어진다. 여기서 2를 곱한 것은 전자의 가능한 두 방향의 스핀을 고려한 것이다.
단위 에너지당 해의 밀도는
로 주어지고,
상태밀도는,
와 같이 구해진다. 여기서 L^3 으로 나눈 것은 상태밀도가 단위 에너지당, 단위 체적당 해의 수로 정의되기 때문이다.
전도대에서 가장 작은 에너지는 E_c이다. 그리고 가전대에서 가장 큰 에너지는 E_v이다. 각 상태의 전자와 정공의 상태밀도는 아래와 같이 주어진다.
바로 위 문제에서 구한 전자의 상태밀도를 '전도대 안의 전자밀도' 적분식에 적용하여 전자밀도를 구해볼 수 있다.
먼저 fermi-Dirac 분포함수 f(E) 는
이므로 전자밀도 공식인
에 둘 다 대입을 하면 식은 아래와 같이 표현된다.
여기서 E_c, E_c t 는 전도대의 가장 낮은 에너지준위와 가장 높은 에너지준위를 각각 나타낸다. 대체로 E ≫ E_F 가 만족되고, Fermi-Dirac 분포함수는 전도대에서 빠르게 0으로 감소한다. 따라서 적분의 상한 E_c t 를 ∞ 로 치환할 수 있다.
또한 에너지가 0 < E < E_c 영역에서는 전자의 상태밀도D(E)가 0이므로 적분의 하한도 0으로 바꿀 수 있다.
그래서 위의 식은 아래와 같이 근사할 수 있다.
여기서 변수를 치환하고, 가우스 적분을 적용하면
로 정리할 수 있다.
N_c는 전도대 안에 있는 모든 전자가 E_c의 에너지 상태에 있다고 가정할 때의 상태밀도로서 유효상태밀도 라고 부른다.
같은 방법으로 '가전대의 정공밀도'도 구할 수 있는데 글이 너무 길어지는 것 같아서... 다시 정리해야 할 것 같다.
'과학도를 위한 반도체와 전자회로의 기초' 책을 공부하여 작성 하였습니다.
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